Ep003 - Widerstandsschaltungen
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WICHTIG: Bitte beachte die Errata zum Video am Ende dieser Seite!

Widerstände in Serienschaltung

[Bild: widerstand-seriell.png] Wir erinnern uns: Der Widerstand (R ) verhält sich direkt proportional zur Länge des Leiters. Schaltet man mehrere Widerstande in Serie (hintereinander), so ist das, als würde man den Leiter länger machen. Demzufolge addieren sich die Widerstandswerte:

[TeX Formel: R_{seriell} = R_1 + R_2]

Das geht natürlich nicht nur für zwei sondern für beliebig viele in Serie geschaltete Widerstände:

[TeX Formel: R_{seriell} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots]

Widerstände in Parallelschaltung

[Bild: widerstand-parallel.png] Wir erinnern uns: Der Widerstand verhällt sich indirekt proportional zum Querschnitt des Leiters.

Der Leitwert (G ) ist der Kehrwert des Widerstandes:

[TeX Formel: G = \frac{1}{R}]

Man kann also auch sagen, der Leitwert verhält sich direkt poportional zum Querschnitt des Leiters.

Schaltet man mehrere Widerstände parallel, so ist das, als würde man den Leiter dicker machen. Demzufolge addieren sich die Leitwerte:

[TeX Formel: G_{parallel} = G_1 + G_2 + G_3 + \cdots]

Setzt man nun die Formel für Leitwert und Widerstand hier ein, ergibt sich für parallel geschaltete Widerstände ein Doppelbruch:

[TeX Formel: R_{parallel} = \frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\cdots}]

Für zwei Widerstände lässt sich das auch einfacher ausdrücken:

[TeX Formel: R_{parallel} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}]

Spannungsabfall am Widerstand, Spannungsteiler

[Bild: spannungsteiler.png] In den früheren Beispielen hatten wir an der Batterie immer nur einen Verbraucher und haben festgestellt, dass an jenem Ende des Verbrauchers, das am Plus-Pol der Batterie angeschlossen ist, das gleiche Potential wie am Plus-Pol der Batterie herrscht, und an dem Ende des Verbrauchers, das am Minus-Pol der Batterie angeschlossen ist, das gleiche Potential wie am Minus-Pol der Batterie herrscht.

Die Spannung springt dabei aber nicht von einem Potential zum anderen. Statt dessen nimmt sie kontinuierlich mit dem überwundenen Widerstand (und proportional zu diesem) ab.

Das bedeutet, wenn in der links dargestellten Schaltung beide Widerstände gleich gross sind, dann liegt an dem Punkt zwischen den Widerständen genau die Hälfte der Spannung an, die wir am Plus-Pol der Batterie messen können. Das heisst, U1 und U2 sind dann beide gleich gross und jeweils die Hälfte von U3 .

Sind die Widerstände R1 und R2 ungleich gross, so sind es auch die Spannungen U1 und U2 - und zwar im gleichen Verhältnis:

[TeX Formel: \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}
\qquad \Leftrightarrow \qquad
\frac{U_1}{U_1 + U_2} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}
]

[TeX Formel: U_3 = U_1 + U_2
\qquad
R_{seriell} = R_1 + R_2
]

Eine solche Schaltung nennt man Spannungsteiler. Spannungsteiler begegnen einem in elektronischen Schaltungen ständig - deshalb ist es sehr wichtig für das Verständis weiterführender Schaltungen, das Konzept des Spannungsteilers verstanden zu haben und zu verinnerlichen.

Der Strom, der durch die Schaltung fliesst, wird natürlich nur durch den Gesamtwiderstand bestimmt und ist, da die Schaltung keine Verzweigungen aufweist, überall in der Schaltung gleich gross.

Stromteiler

[Bild: stromteiler.png] So wie Widerstände in Serienschaltung die Spannung teilen, so teilen parallel geschaltete Widerstände den Strom. Wenn die Widerstände gleich gross sind wird der Strom halbiert. Ist das nicht der Fall, so teilen sich die Ströme indirekt proportional zu den Widerstandswerten auf die beiden Teilstrecken auf:

[TeX Formel: \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}
\qquad \Leftrightarrow \qquad
\frac{I_1}{I_1 + I_2} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}
]

Das bedeutet, der Strom nimmt den Weg des geringsten Widerstandes. Das macht auch Sinn, denn an beiden Widerständen fällt ja die selbe Spannung ab. Nach dem Ohmschen Gesetz muss dementsprechend durch den kleineren Widerstand mehr Strom fliessen:

[TeX Formel: U = R \cdot I
\qquad \Leftrightarrow \qquad
I = \frac{U}{R}
]

Spannungsabfall, Leistung und Energie

Überall, wo Spannung (U ) abfällt und Strom (I ) fliesst, wird elektrische Energie in eine andere Energieform überführt. Das kann in verschiedensten Formen passieren, z.Bsp. kann ein Elektromotor die elektrische Energie in Bewegungsenergie umwandeln. Meistens wird die elektrische Energie aber in Wärme umgewandelt. Energie (E ) ist Leistung (P ) mal Zeit (t ):

[TeX Formel: E = P \cdot t]

Leistung wiederum ist in elektrischen Grössen Spannung (U ) mal Strom (I ):

[TeX Formel: P = U \cdot I]

Deswegen werden Bauteile mit einem grösseren Widerstand auch eher heiss als solche mit geringem Widerstand: An ihnen fällt mehr Spannung ab, das bedeutet mehr Leistung und das wiederum bedeutet mehr Energie im gleichen Zeitraum.

Bauteile mit sehr grossem Widerstand werden aber kaum heiss, weil wegen des grossen Widerstandes fast kein Strom durch sie hindurchfliesst.

Die Einheit der Leistung ist übrigens Watt (W). Die zusammengesetze Einheit "Kilowattstunde" (kWh) für Energie kennt Ihr vielleicht von euren Stromrechnungen. In der Physik wird Energie aber meistens in Joule (mit dem Einheitszeichen J) angegeben. Ein Joule entspricht einer Wattsekunde.

Errata zum Video

Wenn Clifford die Parallelschaltung von Widerständen erklärt sagt er mal irrtümlich "Serienschaltung". Aus dem Kontext (Parallelschaltung) ist hoffentlich klar was gemeint war..

Clifford erklärt im Video den Stromteiler falsch herum und behauptet, der Strom wäre direkt proportional zu den Widerstandswerten. In Wahrheit ist er natürlich indirekt proportional und dementsprechend muss auch in der Formel auf einer Seite der Kehrwert gebildet werden. Die Formel im Text ist richtig. Wir werden versuchen vor dem nächsten Dreh auch etwas Schlaf zu finden, dann sollte sowas nicht mehr passieren...

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